Début des recherches

À notre première séance, le problème suivant nous a été présenté :

Pierre et Paul jouent à pile ou face. Pierre verse à Paul un enjeu A aux conditions suivantes : s’il gagne le premier coup, Paul lui verse 2 francs ; s’il ne gagne qu’au deuxième coup, Paul lui verse 4 francs, et ainsi de suite : s’il ne gagne qu’au nième coup après avoir perdu tous les coups précédents, Paul lui verse 2ⁿ francs.

De prime abord, nous avons été surpris car la simplicité apparente de l’énoncé sous-tendait en fait des problèmes et questionnements complexes. Il s’agissait donc lors de cette première séance de comprendre  l’énoncé et ses enjeux. En effet, aucune question  ne nous était explicitement formulée, un travail que nous devions nous-même réaliser.

Deux questions ont été retenues comme pertinentes :

1. Pour quelle valeur de A le jeu est-il équitable c’est-à-dire pour quel A est-ce que E(gain)=0 ? A doit être égal au gain pour que la partie soit équitable.
2. En moyenne combien y a-t-il de lancers au total au cours d’une même partie ?

Les séances suivantes ont été l’occasion d’expérimenter, de rechercher des conjectures pour répondre à l’une ou l’autre des 2 questions. Deux pistes ont été empruntées :

• Programme sur Algobox : programmation  d’un algorithme nous permettant de calculer d’abord les gains de Paul pour plusieurs parties sans prendre en compte la mise de départ (l’enjeu A). Au terme de réflexions menées sur les deux dernières séances, nous avons pu améliorer l’algorithme pour qu’il calcule la moyenne des gains sur ces parties. On a trouvé alors une moyenne des gains = 16 pour un nombre voisin de 10 000 parties.
• Utilisation d’un tableur : pour arriver au même objectif, nous avons réalisé une feuille de calcul qui affiche les gains successifs.

Ainsi, au terme de ces 3 séances si nos réponses ne sont certes pas démontrées, nous avons conjecturé une réponse à la première question. Comment démontrer ce résultat ?