Pierre et Paul jouent
à pile ou face. Pierre gagne si la pièce tombe sur pile. Pierre gagne si la
pièce tombe sur pile. Pierre mise 1 Franc à la première partie, puis double sa
mise en cas de perte jusqu’à ce qu’il gagne. En cas de victoire à une partie
Paul Lui verse 2 fois sa mise.
Interprétation mathématique de l’énoncé :
Tant que Pierre perd, il mise : 2⁰+ 2¹ +...+ 2ⁿ. Ainsi il
s'agit des termes d'une somme d'une suite géométrique de raison 2 et de premier
terme 1. On a donc :
2⁰+ 2¹ +...+ 2ⁿ = (1−2ⁿ)⁄(1−2) = 2ⁿ−1
D'un autre côté, lorsqu’il gagne, Paul lui donne 2ⁿ⁺¹. Le
gain de Pierre est donc :
2ⁿ⁺¹ − (2ⁿ−1) = 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ + 1 = 1
On a un gain constant donc l'espérance mathématique est
égale à 1.
Considérons maintenant... que le nombre de lancés est
fixé !
Fixons alors le nombre de parties à l’avance et observons ce
qui varie au niveau de l’espérance mathématique.
Par exemple, pour trois parties:
Pierre peut gagner dans chacune des trois parties ou il peut
perdre toutes les parties jusqu’à la dernière. Le gain possible est donc 1 franc et la perte possible 7 francs (2³−1 = 7).
Finalement, en pondérant avec les probabilités de chaque
événement l’espérance des gains est de
0.
Essayons alors de généraliser ce
résultat et calculons l’espérance de gain pour un nombre de parties fixées
n:
Pierre a une probabilité de 1− (1/2) ⁿ
de gagner (gain : 1). Il a une probabilité de (1/2)
ⁿ de perdre toutes ces parties (gain :
− (2ⁿ−1))
Donc E(x)= 1(1− (1/2) ⁿ) + (− (2ⁿ−1)* (1/2) ⁿ)
= 1 − (1 /2) ⁿ + (− 2ⁿ (1/2) ⁿ+ (1 /2) ⁿ)
= 1 − (1 /2) ⁿ + (− (2ⁿ/2ⁿ)+ (1 /2) ⁿ)
= 1 −
(1 /2) ⁿ − 1 + (1 /2) ⁿ
= 0
Finalement, on peut conclure que
si le nombre de parties est fixé à l’avance l’espérance de gain est de 0.
Conclusion :
Le
jeu auquel on s’intéresse à travers ce problème est une martingale : si l’on ne
fixe pas le nombre de parties à l’avance, le gain est constant (1 Franc).
Pierre ne peut que finir par gagner aux dépends de Paul. Par un changement de
la mise initiale (c’est-à-dire en augmentant la mise de départ puis en la
doublant à chaque partie) Pierre peut gagner une somme plus considérable que
celle considéré dans ce jeu (en supposant qu’il soit capable de doubler sa mise
jusqu’à gagner).
En
revanche, si le nombre de parties est fixé à l’avance, alors un calcul de
l’espérance de gain indique que celui-ci est de 0, les gains tendent vers
l’équilibre et aucun de Pierre ni de Paul n’est gagnant à la fin du jeu. Le jeu
est donc équitable.
