Soirée du 6 juin

La vidéo de la présentation en public :

(le diaporama est accessible ici).

Sur les liens entre PHILOSOPHIE et PROBABILITE

INTRODUCTION A LA NOTION DU PROBABLE

Qu’est-ce que le probable ? C’est un état de la connaissance qui qualifie avec subjectivité une opinion. La catégorie du probable se place entre le Vrai et le faux. Il fait aussi référence au calcul de la probabilité qui fait abstraction de ce qui est subjectif. 

I La catégorie du probable prend en charge l’opinion

Le probable nous permet d’éviter le dogmatisme et le scepticisme. En effet, reconnaître qu’il y a du probable nous permet de nous rendre compte que l’on peut se tromper (ce qui réfute le dogmatisme). Mais en admettant que quelque chose est probable, on admet qu’il est possible d’adhérer à un énoncé (ce qui va contre le scepticisme).

Après réflexion, on s’est rendus compte que le probable pouvait être hiérarchisé (si il est issu de l’habitude, d’un individu plus informé ou plus compétent). Comment peut-on raisonner à partir du probable ?

II Le syllogisme dialectique : manière de raisonner avec l’opinion

Pour Aristote, ce qui est probable est ce qui est soutenu de manière universelle, par la majorité et par les élites. 

Nous avons vu que le probable permet de discuter toute thèse. Nous avons exemplifié cela en contredisant la thèse selon laquelle « la patience est une vertu ».

LA NAISSANCE DES PROBABILITÉS AVEC PASCAL

Le problème des parties : une partie de jeu de hasard qui fait intervenir une mise monétaire, s’arrête avant la fin. Comment répartir les gains de manière équitable ?

I Le problème des parties avant Pascal

Pour Pacioli, il faut juste prendre en compte le passé pour répartir la mise. Le problème se résume ainsi à une question de proportionnalité, il ne prend pas en compte ce qui pourrait se passer, c’est-à- dire la probabilité des évènements futurs.

Or le hasard est contraire à l’idée de déterminisme largement répandue par la religion chrétienne.

II La mathématisation du problème des parties par les probabilités

Mais à la Renaissance, on assiste à la généralisation des jeux de hasard. On doit donc commencer à légiférer pour résoudre le problème des parties.

Les probabilités doivent permettre l’équité, c’est-à-dire la justice ayant égard aux circonstances particulières et à l’esprit de la Loi.

Dans sa lettre à Pierre de Fermat, Pascal répond aux problèmes des parties en prenant à la fois en compte le passé mais aussi le futur. C’est ainsi qu’il fait intervenir une nouvelle notion mathématique, celle des probabilités :

" Néanmoins, dans la vie de tous les jours, nos choix ne sont pas toujours purement rationnels (basés sur un calcul mathématique de probabilité). Certaines personnes sont risquophiles tandis que d’autres, risquophobes. Dans les deux cas, les décisions de ces personnes risquent d’être en contradiction avec le calcul mathématique."

Etude du Problème n°2

Nous avons ensuite réfléchi au Problème 2 suivant :

Pierre et Paul jouent à pile ou face. Pierre gagne si la pièce tombe sur pile. Pierre gagne si la pièce tombe sur pile. Pierre mise 1 Franc à la première partie, puis double sa mise en cas de perte jusqu’à ce qu’il gagne. En cas de victoire à une partie Paul Lui verse 2 fois sa mise.

Interprétation mathématique de l’énoncé :

Tant que Pierre perd, il mise : 2⁰+ 2¹ +...+ 2ⁿ. Ainsi il s'agit des termes d'une somme d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1. On a donc :

2⁰+ 2¹ +...+ 2ⁿ = (1−2ⁿ)⁄(1−2) = 2ⁿ−1

D'un autre côté, lorsqu’il gagne, Paul lui donne 2ⁿ⁺¹. Le gain de Pierre est donc :

2ⁿ⁺¹ − (2ⁿ−1) = 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ + 1 = 1

On a un gain constant donc l'espérance mathématique est égale à 1.

Considérons maintenant... que le nombre de lancés est fixé !

Fixons alors le nombre de parties à l’avance et observons ce qui varie au niveau de l’espérance mathématique.

Par exemple, pour trois parties:

Pierre peut gagner dans chacune des trois parties ou il peut perdre toutes les parties jusqu’à la dernière. Le gain possible est donc 1  franc et la perte possible 7 francs (2³−1 = 7).

Finalement, en pondérant avec les probabilités de chaque événement  l’espérance des gains est de 0.

Essayons alors de généraliser ce résultat et calculons l’espérance de gain pour un nombre de parties fixées n:

Pierre a une probabilité de 1− (1/2) ⁿ de gagner (gain : 1). Il a une probabilité de (1/2) ⁿ de perdre toutes ces parties  (gain : − (2ⁿ−1))

Donc E(x)= 1(1− (1/2) ⁿ) + (− (2ⁿ−1)* (1/2) ⁿ)

   = 1 − (1 /2) ⁿ + (− 2ⁿ (1/2) ⁿ+ (1 /2) ⁿ)

   =  1 − (1 /2) ⁿ + (− (2ⁿ/2ⁿ)+ (1 /2) ⁿ)

   = 1 − (1 /2) ⁿ − 1 + (1 /2) ⁿ

   = 0

Finalement, on peut conclure que si le nombre de parties est fixé à l’avance l’espérance de gain est de 0.

Conclusion :

Le jeu auquel on s’intéresse à travers ce problème est une martingale : si l’on ne fixe pas le nombre de parties à l’avance, le gain est constant (1 Franc). Pierre ne peut que finir par gagner aux dépends de Paul. Par un changement de la mise initiale (c’est-à-dire en augmentant la mise de départ puis en la doublant à chaque partie) Pierre peut gagner une somme plus considérable que celle considéré dans ce jeu (en supposant qu’il soit capable de doubler sa mise jusqu’à gagner).

En revanche, si le nombre de parties est fixé à l’avance, alors un calcul de l’espérance de gain indique que celui-ci est de 0, les gains tendent vers l’équilibre et aucun de Pierre ni de Paul n’est gagnant à la fin du jeu. Le jeu est donc équitable.

Calculs théoriques

Calcul de l’espérance du gain

Pour déterminer la valeur de l’enjeu A pour laquelle le jeu est équitable, on va calculer l’espérance du gain E(gain).

Soient n le nombre de lancer, X_i le gain obtenu (c’est à dire 2ⁿ au bout de n lancers), et P_i la probabilité de gain (1/2ⁿau bout de n lancers). Alors,

Donc E(gain) = 1 + 1 +1 +1 +...+ 1 (n fois) = n.

En admettant que n tende vers+∞, E(gain) tend vers +∞. Le résultat obtenu est donc absurde, puisque cela reviendrait à devoir mettre en jeu une somme s’approchant de+∞ pour que le jeu soit équitable(car E(gain) doit être égal à l’enjeu A). Donc le jeu ne peut pas être équitable.

Calcul du nombre moyen de lancer dans une partie

On va maintenant tenter de calculer le nombre moyen de lancers dans une partie. 

En utilisant le même procédé, on calcule l’espérance du nombre de lancers notée E(lancer). Soient x_i le nombre de lancers et P_i la probabilité de terminer en x_i lancers.

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	K
Pi	½	½2	1/23	1/24	½5	½6	1/27	1/28	1/2k

Donc E(lancer) est égal à :

  (nous avons utilisé un tableur pour estimer cette dernière somme).