Calcul de l’espérance du gain
Pour déterminer la valeur de l’enjeu A pour laquelle
le jeu est équitable, on va calculer l’espérance du gain E(gain).
Soient n le nombre de lancer, Xi
le gain obtenu (c’est à dire 2n au bout de n lancers),
et Pi la probabilité de gain (1/2nau bout
de n lancers). Alors,
Donc E(gain) = 1 + 1 +1 +1 +...+ 1 (n fois) =
n.
En admettant que n tende vers+∞, E(gain) tend
vers +∞. Le résultat obtenu est donc absurde, puisque cela
reviendrait à devoir mettre en jeu une somme s’approchant de+∞ pour que le jeu
soit équitable(car E(gain) doit être égal à l’enjeu A). Donc le jeu ne peut pas être équitable.
Calcul du nombre moyen de lancer dans une partie
On va maintenant tenter de calculer le nombre moyen
de lancers dans une partie.
En utilisant le même procédé, on calcule
l’espérance du nombre de lancers notée E(lancer). Soient xi le nombre de lancers et Pi
la probabilité de terminer en xi lancers.
xi
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
K
|
Pi
|
½
|
½2
|
1/23
|
1/24
|
½5
|
½6
|
1/27
|
1/28
|
1/2k
|
Donc E(lancer) est égal à :
(nous avons utilisé un tableur pour estimer cette
dernière somme).
