Calculs théoriques

Calcul de l’espérance du gain

Pour déterminer la valeur de l’enjeu A pour laquelle le jeu est équitable, on va calculer l’espérance du gain E(gain).

Soient n le nombre de lancer, X_i le gain obtenu (c’est à dire 2ⁿ au bout de n lancers), et P_i la probabilité de gain (1/2ⁿau bout de n lancers). Alors,

Donc E(gain) = 1 + 1 +1 +1 +...+ 1 (n fois) = n.

En admettant que n tende vers+∞, E(gain) tend vers +∞. Le résultat obtenu est donc absurde, puisque cela reviendrait à devoir mettre en jeu une somme s’approchant de+∞ pour que le jeu soit équitable(car E(gain) doit être égal à l’enjeu A). Donc le jeu ne peut pas être équitable.

Calcul du nombre moyen de lancer dans une partie

On va maintenant tenter de calculer le nombre moyen de lancers dans une partie. 

En utilisant le même procédé, on calcule l’espérance du nombre de lancers notée E(lancer). Soient x_i le nombre de lancers et P_i la probabilité de terminer en x_i lancers.

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	K
Pi	½	½2	1/23	1/24	½5	½6	1/27	1/28	1/2k

Donc E(lancer) est égal à :

  (nous avons utilisé un tableur pour estimer cette dernière somme).